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설명

제1장 1계 상미분방정식
1-1. 기본 개념(槪念). 모델화

가. 모델(model): 물리적 성격의 Engineering문제 해결을 위한 변수나 함수, 방정식 등을 통한 수학적 표현의 공식화 ` 수학적 모델
나. 수학적 모델화(mathematical modeling): 모델을 수학적으로 풀고 그 결과를 물리적이나 다른 관점에서 해석하는 과정
다. 미분방정식(differential equation): 미지함수의 도함수를 포함하는 방정식
라. 상미분방정식(ordinary differential equation, ODE): 미지함수의 한 개 또는 여러 개의 도함수를 포함한 방정식

마. 편미분방정식(partial differential equation, PDE): 두 개 또는 그 이상의 변수를 가진 미지함수의 편도함수를 포함한 방정식

바. 1계 상미분방정식(first-order ODE): 1계 도함수만을 포함하는 방정식
- 양함수 형태(explicit form):
- 음함수 형태(implicit form):

(1) 해의 개념(槪念)(concept of solution)

가. 함수 , 구간 에서 定義(정이)되고 미분가능,
: 열린구간 에서 상미분방정식의 해
의 곡선: 해곡선(solution curve)
: 무한구간 포함,
나. 상미분방정식의 일반해(general solution): 임의의 상수 를 포함하는 해로서 무한히 많은 해곡선의 모임
다. 상미분방정식의 특수해(particular solution): 구체적인 상수 를 정하여 구한 해

(2) 초기값 문제

가. 초기조건(initial condition)
- , 임의의 상수 값을 결정하는데 사용
- 기하학적 의미: 해곡선이 평면에서 반드시 점을 지나야 함
나. 초기값 문제(initial value problem): 초기조건을 가진 상미분방정식

(3) 모델화

가. 1단계: 물리적 상황(물리적 시스템)에서 수학적 공식(수학적 모델) 도출
나. 2단계: 수학적 방법에 의…(To be continued ) 한 해 → 컴퓨터로 해결 가능
다. 3단계: 결과의 물리적 해석
라. 예제: 으로 주어진 방사능 물질의 양이 시간이 경과한 후에 얼마나 남아 있겠는가
- 1단계: 물리적 과定義(정이) 수학적 모델 설정
시간 에 남아 있는 물질의 양: , 시간 變化(변화)율: → 에 비례
비례상수에 의한 표현: , 주어진 초기 양:
초기값 문제의 모델: ,
- 2단계: 수학적 해법 → 지수적 감소를 모델화한 상미분방정식

결과 검토:
- 3단계: 결과의 해석 → 시간에 따라 감소하며,
Quiz
1-2. 의 기하학적 의미. 방향장

가. 1계 상미분방정식 → 의 기울기
나. 점을 지나는 의 해곡선은 그 점에서 의 값과 같은 기울기 를 가져야 함 →

(1) CAS(Computer Algebra System)에 의한 방향장
(2) 등경사선을 이용한 방향장(옛날 방법)
Quiz
1-3. 변수분리형 상미분방정식. 모델화

가. 변수분리법(method of separating variable): 아래와 같은 상미분방정식의 풀이 방법
- 변수분리형 방정식(separable equation)

- 에 양변을 적분

- 이므로


(1) 모델화
예제: 방사성 탄소 연대측정법(Radiocarbon dating)
신석기시대 빙하인간(Oetzi) 미이라의 탄소 에 대한 탄소 의 비율이 살아 있는 유기체 비율의 52.5%라면, Oetzi가 언제쯤 살다가 죽었는가를 계산하면,
가. 물리적 정보: 대기중과 살아 있는 유기체에서 방사성 탄소 와 보통탄소 는 일정 → 생명체가 죽으면 의 흡수작용은 끝남 → 화석에 있는 탄소의 비율과 대기 속의 탄소 비율을 비교하면 화석의 나이를 알 수 있음 → 의 반감기는 5717년
나. 모델화
- 방사능 감쇠 상미분방정식
, : 에 대한 의 초기 비율

- 결정: 반감기 사용, 일 때 물질의 반은 여전히 존재

- Oetzi의 죽은 시기 결정: 비율 52.5% 사용




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